¿Qué son las Proposiciones Lógicas?

Es toda oración o enunciado al que se le puede asignar un cierto valor (v o f). Si no puede concluir que es verdadero o falso no es proposición. Es cualquier agrupación de palabras o símbolos que tengan sentido y de la que en un momento determinado se pueda asegurar si es verdadera o falsa. La verdad o falsedad de una proposición es lo que se llama su valor lógico o valor de verdad. Las proposiciones se denotan con letras minúsculas. Ejemplo: p, q, r, a, b.

Se dividen en dos tipos de Proposiciones, Simples y Compuestas.

Proposiciones Simples:

Son aquellas que no tienen oraciones componentes afectadas por negaciones (“no”) o términos de enlace como conjunciones (“y”), disyunciones (“o”) o implicaciones (“si . . . entonces”). Pueden aparecer términos de enlace en el sujeto o en el predicado, pero no entre oraciones.

Proposiciones Compuestas:

Una proposición será compuesta si no es simple. Es decir, si está afectada por negaciones o términos de enlace entre oraciones componentes.

EJEMPLOS:

Simples:

•La ballena es roja.
•La raíz cuadrada de 16 es 4.
•Gustavo es alto.
•Teresa va a la escuela.

Compuestas:

•La ballena no es roja.
•Gustavo no es alto.
•Teresa va a la escuela o María es inteligente.
•4 es menor que 8 o 6 es mayor que 10.
•El 1 es el primer número primo y es mayor que cero.
•El 7 es mayor que 5 y 7 es menor que 10.
•Si Yolanda es estudiosa entonces pasará el examen.
•Si corro rápido entonces llegaré temprano.
•Terminaré rápido si y sólo si me doy prisa.
•Aprenderé Matemáticas si y sólo si estudio mucho.

Operaciones Lógicas con las Preposiciones y sus Valores de Verdad 

Negación.- Palabras conectivas: no, no es cierto que, no es verdad que, nunca, carece de, sin, etc.

Prefijos negativos: a, des, in, i.

Condición: lo V se transforma en F (y al revés) P -p

Conjunción.- Palabras conectivas: y, aunque, pero, mas, también, sin embargo, además, etc.

Condición: es V cuando ambas son V.                    

Disyunción Inclusiva.- Una, otra o ambas a la vez. (y/o)

Palabras conectivas: o

    

Disyunción Exclusiva.- O una o la otra (NUNCA ambas juntas)

      Palabras conectivas:

      O ......... o .....

      O bien .... o bien

      .... a menos que ....

      .... salvo que ......

     Condición: es V cuando uno es V y el otro es F.

Condicional.- Palabras conectivas: Si ..p.. entonces ..q.. Si ..p.. , ..q.. Cuando p, q.. Siempre p , q.. Es condición suficiente..p..para que..q.. ..q.... sólo si ......p.... Es condición necesaria...q..para que..p..

Condición: es falsa sólo si el antecedente (p) es V y el consecuente (q) es falso.

Bicondicional.- Palabras conectivas: si y sólo si; cuando y sólo cuando; es equivalente a; es condición suficiente y necesaria para; etc.

Condición: son verdaderas si ambas proposiciones tienen el mismo "valor de verdad".

Tautología, Contradicción y Contingencia

Tautología.- Si la tabla de verdad de la proposición es siempre verdadera, independientemente de la verdad o falsedad de las proposiciones simples, entonces la expresión es tautológica.

Contradicción.- Si la tabla de verdad es siempre falsa, será una contradicción.

Contingencia.- Si es verdadera y falsa, la proposición es una contingencia.

Leyes Lógicas

1.    Leyes de Morgan:
¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q)
¬(p ∨ q) ↔ (¬p ∧ ¬q)

2.     Leyes de conmutación:
(p ∨ q) ↔ (q ∨ p)
(p ∧ q) ↔ (q ∧ p)
(p ↔ q) ↔ (q ↔ p)

3.    Leyes de asociación:
((p ∨ q) ∨ r) ↔ (p ∨ (q ∨ r))
((p ∧ q) ∧ r) ↔ (p ∧ (q ∧ r))
((p ↔ q) ↔ r)↔(p↔(q ↔ r))

4.    Leyes distributivas:
(p ∧ (q ∨ r)) ↔ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r))
(p ∨( q ∧ r))  ↔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r))
(p → (q ∧ r)) ↔ ((p → q) ∧ (p → r))
(p → (q ∨ r)) ↔ ((p → q) ∨ (p → r))

5.    Definición de implicación:

(p → q) ↔ (¬p ∨ q)

6.    Definición de equivalencia:

(p ↔ q) ↔ (p → q) ∧ (q → p)

7.    Ley de absorción:

p ∧ (p v q) ↔ p

p v (p ∧ q) ↔ p

8.    Ley de idempotencia:

(p ∧ p) ↔ p

p v p ↔ p

9.    Condición neutro:

p v ¬p ↔ V

p ∧ ¬p ↔ F

10.  Ley elemento Neutro:

P v F ↔ P

P ∧ V ↔ P

11.  Ley de condición de tautología:

P v V ↔ V

12.  Ley de condición de anti-tautología:

P ∧ F ↔ F

13.  Ley de la doble negación:
p ↔ ¬¬p

14.  Negación de tautología:

¬V ↔ F

15.  Negación de anti-tautología:

                  ¬F ↔ V

Circuitos Lógicos

Una preposición puede expresarse como un circuito lógico, representado también como un circuito eléctrico con interruptores, donde el valor de verdad de la preposición está dado según pase o no la corriente.

V (p) = V

V (p) = F


Las operaciones con preposiciones pueden asociarse con un circuito de varios interruptores.

1. Conjunción: Para que V (p ^ q) = V, ambos interruptores deben cerrarse para el paso de corriente y la representación es un circuito en serie.

2. Disyunción: Para que el valor de "p" o "q" sea verdadero, es suficiente que la proposición "p" o la preposición "q" sea verdadero ("p" o "q" deje pasar la corriente) y la representación es un circuito en paralelo. V (p v q) = V



La continuación del tema sera en el siguiente blog ---> Lógica Parte 2